気持ち悪いので定義に戻って証明しました

連続関数fにより数列\{a_n\}
a_n=f(a_{n-1})
と定義されているとする.このとき,\{a_n\}が収束するならばその極限値t=\lim_{n \to \infty}a_nt=f(t)を満たす.

証明

\{a_n\}tに収束するという仮定から,任意の\delta \gt 0に対して
|a_n - t| \lt \delta \qquad (\forall n \gt n_0)
となるようにn_0 \in \mathbb{N}を取ることができる.さらにfが連続であることから,この\deltaを任意の\epsilon \gt 0に対して
|f(a_n)-f(t)| \lt \epsilon \qquad (|a_n - t| \lt \delta)
となるように取ることができる.結局,任意の\epsilon \gt 0に対して
|f(a_n)-f(t)| \lt \epsilon \qquad (\forall n \gt n_1)
となるようにn_1 \in \mathbb{N}を取ることができるということである.つまり\{a_n\}f(t)に収束する.ゆえに数列の極限値の一意性により
t=f(t)

む〜

おかしいにゃあ.こんな証明ぐらい載ってるだろうと思って手持ちの解析の本ひっくり返したけれど載ってなかった.高木さんの本とかなら載ってるのかな?