気持ち悪いので定義に戻って証明しました

連続関数 $f$ により数列 $\{a_n\}$ が
$a_n=f(a_{n-1})$
と定義されているとする．このとき， $\{a_n\}$ が収束するならばその極限値 $t=\lim_{n \to \infty}a_n$ は $t=f(t)$ を満たす．

証明

$\{a_n\}$ が $t$ に収束するという仮定から，任意の $\delta \gt 0$ に対して
$|a_n - t| \lt \delta \qquad (\forall n \gt n_0)$
となるように $n_0 \in \mathbb{N}$ を取ることができる．さらに $f$ が連続であることから，この $\delta$ を任意の $\epsilon \gt 0$ に対して
$|f(a_n)-f(t)| \lt \epsilon \qquad (|a_n - t| \lt \delta)$
となるように取ることができる．結局，任意の $\epsilon \gt 0$ に対して
$|f(a_n)-f(t)| \lt \epsilon \qquad (\forall n \gt n_1)$
となるように $n_1 \in \mathbb{N}$ を取ることができるということである．つまり $\{a_n\}$ は $f(t)$ に収束する．ゆえに数列の極限値の一意性により
$t=f(t)$