相加相乗平均の関係の一般化

数学

結城先生の日記の話題
http://www.hyuki.com/d/200511.html#i20051116160053
http://www.hyuki.com/story/tetora.html
で
http://www.hyuki.com/story/tetora.pdf
にある相加相乗平均の一般化の問題に関して．高校生のとき，これの証明に感動して今だに問題と証明を覚えていたのでつい反応してしまった．

問題

自然数 n に関する命題
\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k \geq \left( \prod_{k=1}^n x_k \right)^{\frac{1}{n}} \qquad (x_k \geq 0 \qquad (k=1,2,3,\ldots,n)) \qquad （等号成立は x_k \qquad (k=1, 2, 3,\ldots, n) が全て等しいとき）
をP(n)とおく．

P(n) が全ての自然数 n で成り立つことの証明

n=1 のとき， P(n) の成立は自明．

（以下， P(n) を仮定して P(2n) の成立を導出）

n=t のとき，P(n) が成り立つと仮定する．
t 個の変数 x_k \geq 0 \qquad (k=1, 2, 3, \ldots, t) に関して
\displaystyle \frac{1}{t}\sum_{k=1}^{t}x_k \geq \left( \prod_{k=1}^{t} x_k \right)^{\frac{1}{t}}
が成り立つ．同じく t 個の変数 x_k \geq 0 \qquad (k=t+1, t+2, t+3, \ldots, 2t) に関して
\displaystyle \frac{1}{t}\sum_{k=t+1}^{2t}x_k \geq \left( \prod_{k=t+1}^{2t} x_k \right)^{\frac{1}{t}}
も成り立つ．上2式の両辺を足して
\displaystyle \frac{1}{2t}\sum_{k=1}^{2t} x_k \geq \left( \prod_{k=1}^{t} x_k \right)^{\frac{1}{t}} + \left( \prod_{k=t+1}^{2t} x_k \right)^{\frac{1}{t}}
を得る．さらに，右辺に関して2変数の相加相乗平均の関係を考えると
\displaystyle \left( \prod_{k=1}^{t} x_k \right)^{\frac{1}{t}} + \left( \prod_{k=t+1}^{2t} x_k \right)^{\frac{1}{t}} \geq \sqrt{\left( \prod_{k=1}^{t} x_k \right)^{\frac{1}{t}} \cdot \left( \prod_{k=t+1}^{2t} x_k \right)^{\frac{1}{t}}} = \left( \prod_{k=1}^{2t}x_k \right)^{\frac{1}{2t}}
となる．つまり
\displaystyle \frac{1}{2t}\sum_{k=1}^{2t} x_k \geq \left( \prod_{k=1}^{2t}x_k \right)^{\frac{1}{2t}}
が示される．この等号の成立は，上の全ての式において等号が成立するとき，すなわち x_k \qquad (k = 1, 2, 3, \ldots, 2t) が全て等しいとき．これは n=2t のとき P(n) が成り立つことを意味する．
以上から，帰納的にn=2^m \qquad (m=0,1,2,\ldots ) で命題 P(n) が成り立つことが示された．

（以下， P(n) を仮定して P(n-1) を導出）

次に， n=t \qquad (t \geq 2) で P(n) が成立すると仮定する．
\displaystyle \frac{1}{t}\sum_{k=1}^t x_k \geq \left( \prod_{k=1}^t x_k \right)^{\frac{1}{t}} \qquad\qquad (1)
書き換えると
\displaystyle \left( \frac{1}{t}\sum_{k=1}^t x_k \right)^t \geq \prod_{k=1}^t x_k \qquad\qquad (2)
となる．ここで(2)式は任意の負でない数 x_t について成り立つのだから
\displaystyle x_t = \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \qquad\qquad (3)
とおいても，やはり(2)式は成り立つ．この x_t を(2)式に代入すると
\displaystyle (\text{Left-hand side of (2)}) = \left( \frac{1}{t}\left( \sum_{k=1}^{t-1} x_k + x_t \right) \right)^t = \left( \frac{1}{t}\left( \sum_{k=1}^{t-1} x_k + \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \right) \right)^t = \left( \left( \frac{1}{t} + \frac{1}{t(t-1)} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{t-1} x_k \right) \right)^t = \left( \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1} x_k \right)^t
\displaystyle (\text{Right-hand side of (2)}) = \left( \prod_{k=1}^{t-1} x_k \right) \cdot x_t = \left( \prod_{k=1}^{t-1} x_k \right) \cdot \left( \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \right)
となり，結果
\displaystyle \left( \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \right)^t \geq \left( \prod_{k=1}^{t-1} x_k \right) \cdot \left( \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \right)
\displaystyle \left( \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \right)^{t-1} \geq \left( \prod_{k=1}^{t-1} x_k \right)
\displaystyle \frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{t-1}x_k \geq \left( {\prod_{k=1}^{t-1} x_k \right)^{\frac{1}{t-1}
を得る．仮定の等号が成立するとき結論の等号も成立する．すなわち， x_k (k=1, 2, 3, \ldots, t-1) が全て等しいとき等号が成立する．以上から， n=t-1 において P(n) が成り立つことが示される．
以上から，帰納的に任意の自然数 n において P(n) が成り立つことが示された．

説明

よ〜するに， P(1), P(2), P(4), P(8),... と倍々な帰納法で示して，歯抜けな部分をさらに下向きの帰納法で埋めるという数学的帰納法．例えば P(6) は上の手順に従うと P(1) -> P(2) -> P(4) -> P(8) -> P(7) -> P(6) という手順で示される．
高校生の時分に，「へぇ〜，こんな帰納法もあるんだぁ〜」って感動したんですが，感動しませんかね？しませんか……．しょぼぼぼぼーん．