定理：の同値性

厳密で弱い順序の定義における2項関係 $\mathrm{equiv}$ は同値関係である．即ち以下の条件を満たす．

反射性

$S$ の任意の要素 $a$ に対して
$\mathrm{equiv}(a,a)$ ．

対称性

$S$ の任意の要素 $a,b$ に対して
$\mathrm{equiv}(a,b) \Rightarrow \mathrm{equiv}(b,a)$ ．

推移性

$S$ の任意の要素 $a,b,c$ に対して
$\mathrm{equiv}(a,b) \wedge \mathrm{equiv}(b,c) \Rightarrow \mathrm{equiv}(a,c)$ ．

証明）

$a$ を $S$ の任意の要素とする． $\mathrm{comp}$ の非反射性から $\mathrm{comp}(a,a)$ は偽である．従って $\mathrm{equiv}(a,a)$ が成り立り反射性を満たす．
$a,b$ を $S$ の任意の要素とする． $\mathrm{equiv}(a,b)$ と仮定すると
$\neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)$
となる．従って $\mathrm{equiv}(b,a)$ が成り立ち対称性を満たす．
推移性は厳密で弱い順序の定義から自明である．Q.E.D.