を
上の厳密で弱い順序とする.
が定義する同値関係
に関する
の商集合
を考え,
上の2項関係
を以下のように定義する.
ここでは
の要素である.このとき
は
上の全順序となる.
証明)
を
の任意の要素とする.
に対して
である.従って常に
が成り立ち従って非反射性を満たす.
を
の任意の要素とする.
が真と仮定すると,
に対して
である.このとき
の非対称性から
である.従って
となり反対称性を満たす.
を
の任意の要素とする.
でありかつ
であると仮定する.このとき
に対して
である.従って
の推移性から
となる.従って
は真となり推移性を満たす.
に対して
と仮定する.このとき
である.ここから直ちにであることが分かる.即ち
は同じ同値類の要素であり従って
と
は同じ同値類であることが分かる.よって
に対して
のいずれかが成り立ち,従って3分律を満たす.Q.E.D.