定理：厳密で弱い順序から導出される商集合上の厳密な全順序

$\mathrm{comp}$ を $S$ 上の厳密で弱い順序とする． $\mathrm{comp}$ が定義する同値関係 $\mathrm{equiv}$ に関する $S$ の商集合 $S/\mathrm{equiv}$ を考え， $S/\mathrm{equiv}$ 上の2項関係 $\mathrm{comp}'$ を以下のように定義する．
$\mathrm{comp}'(A,B) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \forall a \in A, \forall b \in B, \mathrm{comp}(a,b)$
ここで $A,B$ は $S/\mathrm{equiv}$ の要素である．このとき $\mathrm{comp}'$ は $S/\mathrm{equiv}$ 上の全順序となる．

証明）

$A$ を $S/\mathrm{equiv}$ の任意の要素とする． $a_1, a_2 \in A$ に対して $\neg\mathrm{comp}(a_1,a_2)$ である．従って常に $\neg\mathrm{comp}'(A,A)$ が成り立ち従って非反射性を満たす．

$A,B$ を $S/\mathrm{equiv}$ の任意の要素とする． $\mathrm{comp}'(A,B)$ が真と仮定すると， $a \in A, b \in B$ に対して $\mathrm{comp}(a,b)$ である．このとき $\mathrm{comp}$ の非対称性から $\neg\mathrm{comp}(b,a)$ である．従って $\neg\mathrm{comp}'(B,A)$ となり反対称性を満たす．

$A,B,C$ を $S/\mathrm{equiv}$ の任意の要素とする． $\mathrm{comp}'(A,B)$ でありかつ $\mathrm{comp}'(B,C)$ であると仮定する．このとき $a \in A, b \in B, c \in C$ に対して $\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,c)$ である．従って $\mathrm{comp}$ の推移性から $\mathrm{comp}(a,c)$ となる．従って $\mathrm{comp}'(A,C)$ は真となり推移性を満たす．

$A,B \in S/\mathrm{equiv}$ に対して
$\neg\mathrm{comp}'(A,B) \wedge \neg\mathrm{comp}'(B,A)$
と仮定する．このとき
$\exists a \in A, \exists b \in B, \neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)$
である．ここから直ちに $\mathrm{equiv}(a,b)$ であることが分かる．即ち $a,b$ は同じ同値類の要素であり従って $A$ と $B$ は同じ同値類であることが分かる．よって $A,B$ に対して

$\mathrm{comp}'(A,B)$
$\mathrm{comp}'(B,A)$
$A = B$

のいずれかが成り立ち，従って3分律を満たす．Q.E.D.