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Cry's Blog

2005-05-31

定理:厳密で弱い順序の反対称性

C++ STL 数学

\mathrm{comp}を集合S上の厳密で弱い順序とする.このとき\mathrm{comp}は反対称性(Assymmetricity)を持つ.即ちa,bをSの任意の要素とするとき
\mathrm{comp}(a,b) \Rightarrow \neg\mathrm{comp}(b,a)
を満たす.

証明)

\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,a)
と仮定する.推移性からただちに
\mathrm{comp}(a,a)
が導かれるがこれは非反射性に矛盾する.ゆえに
\mathrm{comp}(a,b) \Rightarrow \neg\mathrm{comp}(b,a)
が示された.Q.E.D.

Cryolite 2005-05-31 00:00

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