定理：厳密で弱い順序の反対称性

$\mathrm{comp}$ を集合 $S$ 上の厳密で弱い順序とする．このとき $\mathrm{comp}$ は反対称性(Assymmetricity)を持つ．即ち $a,b$ を $S$ の任意の要素とするとき
$\mathrm{comp}(a,b) \Rightarrow \neg\mathrm{comp}(b,a)$
を満たす．

証明）

$\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,a)$
と仮定する．推移性からただちに
$\mathrm{comp}(a,a)$
が導かれるがこれは非反射性に矛盾する．ゆえに
$\mathrm{comp}(a,b) \Rightarrow \neg\mathrm{comp}(b,a)$
が示された．Q.E.D.