定義：厳密で弱い順序(Strict Weak Order)

集合 $S$ 上の2項関係 $\mathrm{comp}$ が厳密で弱い順序であるとは， $\mathrm{comp}$ が以下の条件を全て満たすことである．

非反射性(Irreflexivity)

$S$ の任意の要素 $a$ に対して $\neg\mathrm{comp}(a,a)$ ．

推移性(Transitivity)

$S$ の任意の要素 $a,b,c$ に対して
$\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,c) \Rightarrow \mathrm{comp}(a,c)$ ．

Equivalenceにおける推移性(Transitivity)

2項関係 $\mathrm{equiv}(a,b)$ を
$\mathrm{equiv}(a,b) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)$
と定義する．このとき
$\mathrm{equiv}(a,b) \wedge \mathrm{equiv}(b,c) \Rightarrow \mathrm{equiv}(a,c)$ ．