非常にエキサイティングなニュースに興奮しすぎることがないようにまったく関係のない真面目な話を随時間に挟んで理性のバランスを保とうと試みるも実際にはバランス保つどころか話題の切り替えに脳の切り替えが追いつかず恋愛CHU!とさくらんぼキッスの順序準同型性なんていう意味不明な発想で一人にやけている俺はおかしいですかそーですかみたいなちょっとお茶目なつもりのその実ただ読みにくいだけの今日のブログ2005.

定義:厳密で弱い順序(Strict Weak Order)

集合S上の2項関係\mathrm{comp}が厳密で弱い順序であるとは,\mathrm{comp}が以下の条件を全て満たすことである.

  • 非反射性(Irreflexivity)

Sの任意の要素aに対して\neg\mathrm{comp}(a,a)

  • 推移性(Transitivity)

Sの任意の要素a,b,cに対して
\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,c) \Rightarrow \mathrm{comp}(a,c)

  • Equivalenceにおける推移性(Transitivity)

2項関係\mathrm{equiv}(a,b)
\mathrm{equiv}(a,b) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)
と定義する.このとき
\mathrm{equiv}(a,b) \wedge \mathrm{equiv}(b,c) \Rightarrow \mathrm{equiv}(a,c)

ついでにI'veの6th compilation albumとマキシも出るらしい

http://www.dengekionline.com/g-net/news/200505/30/gn20050530_ive02.htm


高瀬氏「(前略)いよいよ「Vol.6」も制作に入りましたので、ご期待ください。最後にもう1つ! 今回のコンサートを記念して、出演する歌手全員で唄う、新しい楽曲のマキシシングルを制作します。(後略)」
くぁwせdfgふじこpl;」’

KOTOKOさんはライブでチェンジマ歌いたいらしい

http://www.dengekionline.com/g-net/news/200505/30/gn20050530_ive02.htm


KOTOKOさん「(途中略)個人的には「Change my Style」(『コスって!My Honey』主題歌)を唄って早着替えをその場でやってみたいです!(場内爆笑)」
アテンションプリーズなハート泥棒が子犬になりたいほっぺにチュでイヤッホーーー!!!

定理:の同値性

厳密で弱い順序の定義における2項関係\mathrm{equiv}は同値関係である.即ち以下の条件を満たす.

  • 反射性

Sの任意の要素aに対して
\mathrm{equiv}(a,a)

  • 対称性

Sの任意の要素a,bに対して
\mathrm{equiv}(a,b) \Rightarrow \mathrm{equiv}(b,a)

  • 推移性

Sの任意の要素a,b,cに対して
\mathrm{equiv}(a,b) \wedge \mathrm{equiv}(b,c) \Rightarrow \mathrm{equiv}(a,c)

証明)

aSの任意の要素とする.\mathrm{comp}の非反射性から\mathrm{comp}(a,a)は偽である.従って\mathrm{equiv}(a,a)が成り立り反射性を満たす.
a,bSの任意の要素とする.\mathrm{equiv}(a,b)と仮定すると
\neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)
となる.従って\mathrm{equiv}(b,a)が成り立ち対称性を満たす.
推移性は厳密で弱い順序の定義から自明である.Q.E.D.

定理:厳密で弱い順序から導出される商集合上の厳密な全順序

\mathrm{comp}S上の厳密で弱い順序とする.\mathrm{comp}が定義する同値関係\mathrm{equiv}に関するSの商集合S/\mathrm{equiv}を考え,S/\mathrm{equiv}上の2項関係\mathrm{comp}'を以下のように定義する.
\mathrm{comp}'(A,B) \stackrel{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow} \forall a \in A, \forall b \in B, \mathrm{comp}(a,b)
ここでA,BS/\mathrm{equiv}の要素である.このとき\mathrm{comp}'S/\mathrm{equiv}上の全順序となる.

証明)

AS/\mathrm{equiv}の任意の要素とする.a_1, a_2 \in Aに対して\neg\mathrm{comp}(a_1,a_2)である.従って常に\neg\mathrm{comp}'(A,A)が成り立ち従って非反射性を満たす.

A,BS/\mathrm{equiv}の任意の要素とする.\mathrm{comp}'(A,B)が真と仮定すると,a \in A, b \in Bに対して\mathrm{comp}(a,b)である.このとき\mathrm{comp}の非対称性から\neg\mathrm{comp}(b,a)である.従って\neg\mathrm{comp}'(B,A)となり反対称性を満たす.

A,B,CS/\mathrm{equiv}の任意の要素とする.\mathrm{comp}'(A,B)でありかつ\mathrm{comp}'(B,C)であると仮定する.このときa \in A, b \in B, c \in Cに対して\mathrm{comp}(a,b) \wedge \mathrm{comp}(b,c)である.従って\mathrm{comp}の推移性から\mathrm{comp}(a,c)となる.従って\mathrm{comp}'(A,C)は真となり推移性を満たす.

A,B \in S/\mathrm{equiv}に対して
\neg\mathrm{comp}'(A,B) \wedge \neg\mathrm{comp}'(B,A)
と仮定する.このとき
\exists a \in A, \exists b \in B, \neg\mathrm{comp}(a,b) \wedge \neg\mathrm{comp}(b,a)
である.ここから直ちに\mathrm{equiv}(a,b)であることが分かる.即ちa,bは同じ同値類の要素であり従ってABは同じ同値類であることが分かる.よってA,Bに対して

  • \mathrm{comp}'(A,B)
  • \mathrm{comp}'(B,A)
  • A = B

のいずれかが成り立ち,従って3分律を満たす.Q.E.D.